lunes, 30 de junio de 2008
lunes, 9 de junio de 2008
APOLONIO EN EL SIGLO DE ORO
Durante el primer siglo de la época Helenística hubo tres matemáticos que sobresalen por encima de todos los demás de su tiempo, incluso por encima de la mayoría de los matemáticos de todos los tiempos. Estos matemáticos fueron Euclides, Arquímedes y Apolonio. Sus obras son las que han determinado que se denomine Edad de Oro de la matemática griega al período que va del 300 a.C. al 200 a.C. Se suele llamar Edad de Oro de la cultura griega a la época de Pericles, a mediados del siglo v a.C. Parece como si se hubiera rezagado la matemática con respecto a las artes y la literatura. Aunque el centro de la actividad matemática era Alejandría, Apolonio (al igual que Arquímedes) no nació en Alejandría sino en Perga (en el sur de Asia Menor). Pero probablemente estudió en Alejandría e incluso llegó e enseñar en su universidad. Durante una época de su vida, vivió en Pergano, ciudad que contaba con una universidad y biblioteca de gran importancia, sólo superadas por las de Alejandría. Se cree que vivió entre los años 262 y
190 a.C..
Gran parte de su obra ha desaparecido; por ello, hay más preguntas sin respuestas sobre Apolonio y su obra que acerca de Euclides o Arquímedes. Apolonio fue considerado en la Antigüedad como el Gran Geómetra. Seis de sus obras fueron incluidas, junto con dos tratados de los más avanzados de Euclides, en una colección conocida como el Tesoro del Análisis. Por Pappus, sabemos que consistía en un cuerpo especial de conocimiento destinado a aquellos que, después de haber recorrido los elementos usuales, quisieran prepararse para abordar y resolver problemas relativos a curvas superiores. Esta colección debió incluir mucho material que ahora calificaremos como verdadera geometría analítica. Durante el siglo XVIII se puso de moda el juego intelectual de reconstruir las obras geométricas perdidas de la Antigüedad. Los tratados de Apolonio estuvieron entre los favoritos.
Apolonio fue tanbién un astrónomo famoso. Parece ser que a el se debe el artificio matemático para representar los movimientos de los planetas en la antigüedad. Apolonio propuso dos sistemas alternativos. Uno de los sistemas supone que el planeta se mueve uniformemente describiendo una circunferencia menor (apiciclo), cuyo centro c gira a su vez uniformemente siguiendo la circunferencia de un círculo mayor (deferente), con centro en la Tierra.
Una de sus obras más importantes, Las Cónicas, constituye un tratado de una amplitud y una profundidad extraordinarias. Los Elementos de Euclides y Las Cónicas de Apolonio fueron las mejores obras en su género de toda la matemática de la Antigüedad. Los métodos de Apolonio son tan semejantes, en muchos aspectos, al planteamiento analítico moderno que su obra se ha considerado a menudo como una anticipación de la geometría de Descartes en unos 1800 años. No hay diferencias esenciales entre el uso de un
sistema de coordenadas (Descartes) y el sistema de Apolonio que medía las distancias a lo largo del diámetro a partir del punto de tangencia ( abscisa) y los segmentos paralelos a la tangente interceptada por el di{ametro y la curva( ordenada). Las relaciones que encuentra Apolonio entre abscisas y ordenadas no son otra cosa que formas retóricas de las ecuaciones analíticas de las curvas consideradas. Las diferencias más notables con el sistema cartesiano son:1) los griegos no consideraron magnitudes negativas, y 2) nunca
un sistema de coordenadas de referencias a priori. Para los griegos las curvas no venian determinadas por las ecuaciones que verifican las coordenadas de sus puntos. Esta idea tendría que esperar al siglo XVII, cuando Descartes y Fermat crean la geometría analítica con la introducción de los sistemas de coordenadas. Pero hay que decir a favor de Apolonio que aquellos contaron con la gran ayuda del álgebra moderna que se desarolla en el Renacimiento.
Se llama cónicas a las curvas planas que se obtienen al cortar un cono con un plano. Estas curvas son la elipse, la hipérbola y la parábola ( la circunferencia es el caso particular de elipse que tiene los dos semiejes iguales). Fue Apolonio quien introdujo estos nombres por primera vez, aunque parece que Arquímedes ya usó el nombre de parábola para referirse a la cónica correspondiente. Ellipsis significaba “ciencia”, hipérbola “avanzar más allá” y parábola viene a querer decir “comparar” o “colocar al lado”. Estos nombres ya fueron usados por los pitagórico, pero en otro contexto.
190 a.C..
Gran parte de su obra ha desaparecido; por ello, hay más preguntas sin respuestas sobre Apolonio y su obra que acerca de Euclides o Arquímedes. Apolonio fue considerado en la Antigüedad como el Gran Geómetra. Seis de sus obras fueron incluidas, junto con dos tratados de los más avanzados de Euclides, en una colección conocida como el Tesoro del Análisis. Por Pappus, sabemos que consistía en un cuerpo especial de conocimiento destinado a aquellos que, después de haber recorrido los elementos usuales, quisieran prepararse para abordar y resolver problemas relativos a curvas superiores. Esta colección debió incluir mucho material que ahora calificaremos como verdadera geometría analítica. Durante el siglo XVIII se puso de moda el juego intelectual de reconstruir las obras geométricas perdidas de la Antigüedad. Los tratados de Apolonio estuvieron entre los favoritos.
Apolonio fue tanbién un astrónomo famoso. Parece ser que a el se debe el artificio matemático para representar los movimientos de los planetas en la antigüedad. Apolonio propuso dos sistemas alternativos. Uno de los sistemas supone que el planeta se mueve uniformemente describiendo una circunferencia menor (apiciclo), cuyo centro c gira a su vez uniformemente siguiendo la circunferencia de un círculo mayor (deferente), con centro en la Tierra.
Una de sus obras más importantes, Las Cónicas, constituye un tratado de una amplitud y una profundidad extraordinarias. Los Elementos de Euclides y Las Cónicas de Apolonio fueron las mejores obras en su género de toda la matemática de la Antigüedad. Los métodos de Apolonio son tan semejantes, en muchos aspectos, al planteamiento analítico moderno que su obra se ha considerado a menudo como una anticipación de la geometría de Descartes en unos 1800 años. No hay diferencias esenciales entre el uso de un
sistema de coordenadas (Descartes) y el sistema de Apolonio que medía las distancias a lo largo del diámetro a partir del punto de tangencia ( abscisa) y los segmentos paralelos a la tangente interceptada por el di{ametro y la curva( ordenada). Las relaciones que encuentra Apolonio entre abscisas y ordenadas no son otra cosa que formas retóricas de las ecuaciones analíticas de las curvas consideradas. Las diferencias más notables con el sistema cartesiano son:1) los griegos no consideraron magnitudes negativas, y 2) nunca
un sistema de coordenadas de referencias a priori. Para los griegos las curvas no venian determinadas por las ecuaciones que verifican las coordenadas de sus puntos. Esta idea tendría que esperar al siglo XVII, cuando Descartes y Fermat crean la geometría analítica con la introducción de los sistemas de coordenadas. Pero hay que decir a favor de Apolonio que aquellos contaron con la gran ayuda del álgebra moderna que se desarolla en el Renacimiento.
Se llama cónicas a las curvas planas que se obtienen al cortar un cono con un plano. Estas curvas son la elipse, la hipérbola y la parábola ( la circunferencia es el caso particular de elipse que tiene los dos semiejes iguales). Fue Apolonio quien introdujo estos nombres por primera vez, aunque parece que Arquímedes ya usó el nombre de parábola para referirse a la cónica correspondiente. Ellipsis significaba “ciencia”, hipérbola “avanzar más allá” y parábola viene a querer decir “comparar” o “colocar al lado”. Estos nombres ya fueron usados por los pitagórico, pero en otro contexto.
LOS OCHOS LIBROS DE CONICAS DE APOLONIO
Apolonio sabe mucho más de lo que hasta entonces se sabía y de modo mucho mejor organizado. Por ello se decide a publicarlo. El mismo. En este prólogo al libro primero, explica el contenido de la obra bien claramente. Los cuatro primeros libros constituyen una introducción elemental. Debían de constituir materia probablemente ya sabida, pero no organizada como la propone Apolonio. A partir del libro v se exponen los hallazgos más importantes del mismo Apolonio.
EL LIBRO I trata de las propiedades fundamentales de estas curvas. Modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas.
EL LIBRO II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas. Diámetros, ejes y asíntotas.
EL LIBRO III (el preferido de Apolonio). Teoremas notables y nuevos. Propiedades de los focos.
EL LIBRO IV trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos. Número de puntos de intersección de cónicas.
EL LIBRO V estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica. Segmentos de máxima y mínima distancia a las cónicas. Normal, evouta, centro de curvatura
EL LIBRO VI trata sobre cónicas semejante. Igualdad y semejanza de las secciones cónicas. Problema inverso: dada la cónica, hallar el cono.
EL LIBRO VII trata sobre los diámetros conjugados. Relaciones métricas sobre diámetros.
EL LIBRO VIII se ha perdido, se cree que era un apéndice, (se desconoce su contenido. Tal vez problemas sobre diámetros conjugados).
A continuación examinaremos someramente algunos de los detalles más importantes de los diferentes libros, adelantando solamente que se considera, de modo unánime, el libro v como el mejor y más original de todos.
EL LIBRO I comienza con la generación del cono circular oblicuo de dos hojas que, seccionado por un plano, dará lugar a los diferentes tipos de cónicas. Apolonio ha captado cómo esta consideración de un solo cono permite la obtención de las tres cónicas según la inclinación diversa del plano. Establece las propiedades de ordenada y abscisa de las cónicas.
EL LIBRO II estudia fundamentalmente las propiedades de las asíntotas de la hipérbola. El lenguaje de Apolonio es, un lenguaje sintético, utilizandoa la perfección los viejos procedimientos pitagóricos de la aplicación de áreas. Los resultados sin embargo son fácilmente traducibles al lenguaje de la geometría analítica. Lo que resulta profundamente sorprendente y llamativo es que Apolonio sea capaz de llegar tan lejos sin asomo de utilización de los métodos avanzados de la geometría y del cálculo de los que nosotros disponemos.
EL LIBRO III se dedica primero a estudiar las relaciones de triángulos y cuadriláteros determinados por tangentes y diámetros conjugados.
EL LIBRO IV es de bastante menos valor. En él estudia el número de puntos de intersección de las cónicas.
EL LIBRO V, que consta de 77 proposiciones es, con gran diferencia, el más sorprendente de todos.
EL LIBRO VI, dedicado fundamentalmente a la igualdad y semejanza de cónicas.
EL LIBRO VII, nuevas en su mayor parte, como Apolonio mismo señala, contienen numerosas relaciones métricas entre diámetros conjugados, áreas, etc...
EL LIBRO I trata de las propiedades fundamentales de estas curvas. Modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas.
EL LIBRO II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas. Diámetros, ejes y asíntotas.
EL LIBRO III (el preferido de Apolonio). Teoremas notables y nuevos. Propiedades de los focos.
EL LIBRO IV trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos. Número de puntos de intersección de cónicas.
EL LIBRO V estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica. Segmentos de máxima y mínima distancia a las cónicas. Normal, evouta, centro de curvatura
EL LIBRO VI trata sobre cónicas semejante. Igualdad y semejanza de las secciones cónicas. Problema inverso: dada la cónica, hallar el cono.
EL LIBRO VII trata sobre los diámetros conjugados. Relaciones métricas sobre diámetros.
EL LIBRO VIII se ha perdido, se cree que era un apéndice, (se desconoce su contenido. Tal vez problemas sobre diámetros conjugados).
A continuación examinaremos someramente algunos de los detalles más importantes de los diferentes libros, adelantando solamente que se considera, de modo unánime, el libro v como el mejor y más original de todos.
EL LIBRO I comienza con la generación del cono circular oblicuo de dos hojas que, seccionado por un plano, dará lugar a los diferentes tipos de cónicas. Apolonio ha captado cómo esta consideración de un solo cono permite la obtención de las tres cónicas según la inclinación diversa del plano. Establece las propiedades de ordenada y abscisa de las cónicas.
EL LIBRO II estudia fundamentalmente las propiedades de las asíntotas de la hipérbola. El lenguaje de Apolonio es, un lenguaje sintético, utilizandoa la perfección los viejos procedimientos pitagóricos de la aplicación de áreas. Los resultados sin embargo son fácilmente traducibles al lenguaje de la geometría analítica. Lo que resulta profundamente sorprendente y llamativo es que Apolonio sea capaz de llegar tan lejos sin asomo de utilización de los métodos avanzados de la geometría y del cálculo de los que nosotros disponemos.
EL LIBRO III se dedica primero a estudiar las relaciones de triángulos y cuadriláteros determinados por tangentes y diámetros conjugados.
EL LIBRO IV es de bastante menos valor. En él estudia el número de puntos de intersección de las cónicas.
EL LIBRO V, que consta de 77 proposiciones es, con gran diferencia, el más sorprendente de todos.
EL LIBRO VI, dedicado fundamentalmente a la igualdad y semejanza de cónicas.
EL LIBRO VII, nuevas en su mayor parte, como Apolonio mismo señala, contienen numerosas relaciones métricas entre diámetros conjugados, áreas, etc...
APLICACIONES DE LAS CONICAS
Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y veceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas.
BIOGRAFIA DE APOLONIO DE PERGA
Nació alrededor del 262 a. De c. En Perga, Panfilia, Grecia Jónica (ahora Murtina, Natalia, Turquía)
Murió alrededor del 190 a. De c. En Alejandría, Egipto.
Apolonio de Perga era conocido como “el gran geómetra”. Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro Las cónicas introdujo términos tan familiares hoy en día como parábola, elipse e hipérbola.
Apolonio dePerga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del sol son fundamentalmente cónicas.
Superficie cónica, la que se genera al girar una recta alrededor de otra a la cual corta.
Si se tienen dos rectas, e y g, que se cortan en un punto v y hacemos girar la recta g alrededor de e, se obtiene una figura formada por dos conos infinitos opuestos por el vértice. Es la superficie cónica cuya formada depende del ángulo a que forman las rectas e y g.
La recta e se llama eje, todas las rectas g (la inicial y las infinitas posiciones que ésta ocupa al girar alrededor de e) se llaman generatrices, y v es el vértice de la superficie cónica.
Murió alrededor del 190 a. De c. En Alejandría, Egipto.
Apolonio de Perga era conocido como “el gran geómetra”. Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro Las cónicas introdujo términos tan familiares hoy en día como parábola, elipse e hipérbola.
Apolonio dePerga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del sol son fundamentalmente cónicas.
Superficie cónica, la que se genera al girar una recta alrededor de otra a la cual corta.
Si se tienen dos rectas, e y g, que se cortan en un punto v y hacemos girar la recta g alrededor de e, se obtiene una figura formada por dos conos infinitos opuestos por el vértice. Es la superficie cónica cuya formada depende del ángulo a que forman las rectas e y g.
La recta e se llama eje, todas las rectas g (la inicial y las infinitas posiciones que ésta ocupa al girar alrededor de e) se llaman generatrices, y v es el vértice de la superficie cónica.
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